Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Уравнения, имеющие в своем составе символ \[\sqrtх\], называются уравнениями с квадратным корнем. Квадратным корнем из неотрицательного числа \ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Число или выражение, находящееся под знаком корнем всегда должно быть неотрицательным.

Существуют разные способы решения таких уравнений:

Возведение числа в квадрат, умножив для этого число само на себя;

Упрощение корней, если такое возможно, убрав из него полные корни;

Использование мнимых чисел для получения корня чисел отрицательного характера;

Применение алгоритма деления в столбик;

И другие.

Решим для наглядности такое уравнение c квадратным корнем:

\[\sqrt (x-5) =3\]

Умножаем каждую часть уравнения саму на себя, чтобы избавиться от радикалов:

Теперь перед нами простейшее линейное уравнение, которое решается следующим образом:

Где можно решить алгебраическое уравнение онлайн?

Решить алгебраическое уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1 , а остаток через b n .

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + b n , то имеет место равенство

а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(х–a) + b n

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а 0 = b 0 и при 1 < k < n имеют место соотношения а k = b k - a b k-1 . Отсюда следует, что b 0 = а 0 и b k = а k + a b k-1 , 1 < k < n.

Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка b n запишем в виде таблицы:

	b 1 =а 1 + b 0	b 2 =а 2 + b 1		b n-1 =а n-1 + b n-2	b n = а n + b n-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

Ответ: Р(3) = 535

Упражнение

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р 5 (х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Доказательство: а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = 0

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

а 0 р n + а 1 р n-1 q+ … + а n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Перепишем (1) двумя способами:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

а 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Из равенства (2) следует, что a n q n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а 0 делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р 3 (х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р 3 (1) 0, Р 3 (–1) 0,

Р 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x 2 (2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Упражнения

Решить уравнения:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;

х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n-1 +Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у k , где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0

1) х + 1 = 0, х = -1;

2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 ? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у 1 = -1, у 2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х 1 = -1, ,

Упражнения

Решить уравнения.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной - самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

F(f(x)) = 0, (1)

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у 1 , у 2 , …, y n , … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у 1, f(x) = у 2 ,…, f(x) = у 2 , …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

• использование основного свойства дроби;
• выделение квадрата двучлена;
• переход к системе уравнений;
• раскрытие скобок парами;
• раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
• понижение степени уравнения;
• двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у 1 = 2, у 2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2

х 2 + х + 2 = -3

Решая первое, получим х 1 = 0, х 2 = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х 1 = 0, х 2 = -1,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 - 5х - 14)(х 2 - 5х + 4) = 40

Введем замену: х 2 - 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у 1 = -20, у 2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех 2 ,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.

Пример. (х - 1)(х - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х 2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 - 9х + 8)(х 2 - 6х + 8) = 4х 2 .

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х 1,2 = 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х 1,2 = 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b 1 х + c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2

Уравнение (ах 2 + b 1 х+ c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2 , где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.

Материал из Юнциклопедии

Алгебраические уравнения - уравнения вида P(x 1 , ..., x n) = O, где P - многочлен от переменных x 1 , ..., x n . Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел (a 1 , ..., a n) удовлетворяет этому уравнению, если при замене x 1 на a 1 , x 2 на a 2 и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению x 2 + y 2 = z 2 , поскольку 3 2 + 4 2 = 5 2). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена P называется степенью уравнения P(x 1 , ..., x n) = 0. Например, Зx - 5у + z = c - уравнение первой степени, x 2 + y 2 = z 2 - второй степени, а x 4 - Зx 3 + 1 = 0 - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет конечное число корней, а множество решений алгебраического уравнения с большим числом неизвестных может представлять собой бесконечное множество определенных наборов чисел. Поэтому обычно рассматривают не отдельные алгебраические уравнения с n неизвестными, а системы уравнений и ищут наборы чисел, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям данной системы. Совокупность всех этих наборов образует множество решений системы. Например, множество решений системы уравнений x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 таково: {(3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)}.

Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например x 3 + x = a. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение x 4 - y 4 + z 4 = n 2 , систему уравнений y 3 + x 2 = u 2 , z 2 + x 2 = v 3 и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

Некоторые геометрические задачи: удвоение куба, трисекция угла (см. Классические задачи древности), построение правильного семиугольника - приводят к решению кубических уравнений. По ходу решения требовалось отыскать точки пересечения конических сечений (эллипсов, парабол и гипербол). Пользуясь геометрическими методами, математики средневекового Востока исследовали решения кубических уравнений. Однако им не удалось вывести формулу для их решения. Первым крупным открытием западноевропейской математики была полученная в XVI в. формула для решения кубического уравнения. Поскольку в то время отрицательные числа еще не получили распространения, пришлось отдельно разбирать такие типы уравнений, как x 3 + px = q, x 3 + q = px и т. д. Итальянский математик С. дель Ферро (1465-1526) решил уравнение x 3 + px = q и сообщил решение своему зятю и ученику А. М. Фиоре, который вызвал на математический турнир замечательного математика-самоучку Н. Тарталью (1499-1557). За несколько дней до турнира Тарталья нашел общий метод решения кубических уравнений и победил, быстро решив все предложенные ему 30 задач. Однако найденная Тартальей формула для решения уравнения x 3 + px + q = 0

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Создание алгебраической символики и обобщение понятия числа вплоть до комплексных чисел позволили в XVII-XVIII вв. исследовать общие свойства алгебраических уравнений высших степеней, а также общие свойства многочленов от одного и нескольких переменных.

Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебраистов усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля в конце XVIII - начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются ли его корни в радикалах. Еще до этого К. Ф. Гаусс решил проблему выражения в квадратных радикалах корней уравнения x n - 1 = 0, к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного n-угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, девятиугольник и т.д. - такое построение возможно лишь в случае, когда n - простое число вида 2 2k + 1 или произведение различных простых чисел такого вида.

Наряду с поисками формул для решения конкретных уравнений был исследован вопрос о существовании корней у любого алгебраического уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. Д"Аламбер доказал, что любое алгебраическое уравнение ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доказательстве Д"Аламбера были пропуски, восполненные потом Гауссом. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен n-й степени от x разлагается в произведение n линейных множителей.

В настоящее время теория систем алгебраических уравнений превратилась в самостоятельную область математики, называемую алгебраической геометрией. В ней изучаются линии, поверхности и многообразия высших размерностей, задаваемые системами таких уравнений.

1. Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида

где старший коэффициент

Простейшие виды алгебраических уравнений - уравнения 1-й и 2-й степени и даже некоторые специальные виды уравнений 3-й степени - математики могли решать еще в древнем Вавилоне примерно 4000 лет тому назад. Правда, в те далекие времена ученые еще не знали современной математической символики и записывали и само уравнение и процесс его решения словами, а не формулами

2. Произвольное уравнение первой степени

всегда имеет, и притом единственное, решение

В школьном курсе алгебры доказывается следующая теорема о решении произвольного квадратного уравнения

Если число то уравнение имеет ровно два корня, которые даются формулой

Если , то корень только один:

Если же , то корней среди действительных чисел нет.

Математики всегда стараются избежать подобного разделения случаев - их число только увеличилось бы при переходе к уравнениям более высокой степени. Желательна была бы, конечно, формулйровка: «Уравнение второй степени имеет два корня». Ее можно достичь, если, с одной стороны, так расширить понятие числа, что было бы возможным извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а с другой - считать некоторые корни «несколько раз» (ввести понятие кратного корня).

И то и другое можно аккуратно сделать.

3. Общее уравнение третьей степени имеет вид

Разделив обе части этого уравнения на старший коэффициент А - решения от этого, очевидно, не меняются - приходим к уравнению вида

Введением новой неизвестной величины можно избавиться от слагаемого, содержащего неизвестную во второй степени, т. е. привести уравнение к виду

называемому редуцированным уравнением третьей степени.

Сведения об истории открытия формулы корней кубического уравнения неполны и противоречивы. По-видимому, первым (около 1515 г.) нашел метод решения кубических уравнений профессор университета в Болонье С. Ферро (1465-1526). Независимо от него (около 1535 г.) этот метод открыл Н. Тарталья (1500-1557). Однако первым опубликовал формулу корней кубического уравнения Дж. Кардано (1501-1576) (его работа вышла в 1545 г.), и поэтому эта формула носит его имя. Отметим, что, возможно, Кардано был знаком с работами Тартальи и Ферро.

В современных обозначениях метод решения уравнения (1) состоит в следующем.

Введем две новые неизвестные ; положив имеем

Если неизвестные удовлетворяют системе

то они также удовлетворяют уравнению (2). Решить систему (3) очень просто. Возведем первое уравнение в куб и подставим вместо его выражение из второго уравнения; получим, что удовлетворяет квадратному уравнению

Следовательно,

и, наконец,

Это и есть формула Кардано для решения редуцирован ного кубического уравнения (1).

Сразу возникают вопросы:

1) Что делать, если выражение

2) Сколько корней имеет кубическое уравнение?

3) Дает ли формула Кардано (4) все решения уравнения (1)?

Вопросы эти взаимосвязаны. Легко, например, убедиться, что уравнение

имеет решения -5, 2, 3, а как раз в этом случае

так что квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл и три указанных корня этой формулой не выражаются.

Все говорит о том, что здесь еще больше, чем в случае квадратных уравнений, нельзя обойтись без бведения каких-то «новых чисел», для которых извлечение квадратного корня всегда возможно. Такие числа были постепенно введены на протяжении XVI-XIX вв. Они называются комплексными числами. В комплексных числах любое алгебраическое уравнение степени имеет ровно корней

Рассмотрим в качестве примера уравнение

Оно играет важную роль в теории и понадобится нам в дальнейшем.

В поле комплексных чисел это уравнение имеет различных решений, которые называются корнями степени из единицы:

Для записи решений кубического уравнения нужны корни 3-й степени из 1. В соответствии с формулами (6) это будут следующие комплексные числа:

Можно показать, что три корня редуцированного кубического уравнения есть

Здесь буквой обозначен - корень 3-й степени из как нетрудно видеть, равно Это и есть окончательные формулы Кардано.

4. В случае уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени нам известны формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения при помощи рациональных операций операции извлечения квадратного корня (в случае квадратного уравнения), операций извлечения квадратного и кубического корней (в случае кубического уравнения). Подобные же правила были указаны и для уравнений 4-й степени учеником Дж. Кардано итальянским алгебраистом Л. Феррари (1522-1565). В них также участвуют лишь рациональные операции и операции Все попытки на протяжении почти трех веков (XVI-XVIII) найти подобные правила для уравнений 5-й и более высоких степеней при помощи рациональных операций и операций не увенчались успехом.

Постепенно стали подозревать, что, возможно, вообще нельзя выразить корни уравнения степени для через коэффициенты лишь при помощи операций и у для произвольных натуральных , т. е. что нельзя свести решение таких уравнений рациональными операциями к последовательному решению уравнений специального вида . Корни уравнений , т. е. то, что обычно обозначают через , принято называть радикалами, и поэтому задачу о возможности сведения нахождения корней произвольного уравнения к нахождению уравнений вида принято называть задачей о выражении корней уравнения радикалами.

Попытки доказать или опровергнуть эту гипотезу особенно участились во второй половине XVIII столетия и привели в начале XIX столетия к доказательству невозможности решения общего уравнения 5-й и более высоких степеней в радикалах.

Среди работ XVIII столетия в отмеченном направлении ясностью мысли выделяется мемуар знаменитого французского математика Ж. Л. Лагранжа (1736-1813), озаглавленный «Рассуждения об алгебраическом решении уравнений» (1771-1772). В нем автор подробно и внимательно проанализировал известные методы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах, чтобы выяснить, как и почему в этих случаях такое решение удается. При этом он отметил следующее обстоятельство: во всех указанных случаях имеются некоторые функции от корней, которые удовлетворяют уравнениям более низкой степени и про которые уже известно, что они решаются в радикалах. Корни исходного уравнения, в свою очередь, могут быть найдены из этих промежуточных функций опять таки из уравнений, решаемых в радикалах.

Далее, Лагранж исследует вопрос, каким образом находятся подобные функции от корней в известных случаях. Оказалось, что это полиномы от корней которые при всевозможных перестановках корней - а их число, как известно, равно - принимают не а меньшее число значений, и даже меньшее, чем - степень исследуемого уравнения). Это произойдет тогда, когда не меняется при некоторых перестановках корней.

Вот каким образом перестановки появились в вопросе о решении уравнения в радикалах!

Если функция от корней принимает только k различных значений то коэффициенты многочлена

по одной известной уже давно, теореме - это так называемая основная теорема о симметрических функциях - должны рационально выражаться через коэффициенты исследуемого уравнения

4 Примеры. 1. Пусть - знакопеременная функция

от корней уравнения степени. Она принимает при всевозможных перестановках корней лишь два значения в зависимости от того, будет ли перестановка четной или нечетной. Следовательно, дискриминант уравнения не меняется при всевозможных перестановках и выражается рационально через коэффициенты исследуемого уравнения. Для квадратного уравнения

для редуцированного кубического уравнения

Знакопеременная функция от корней удовлетворяет уравнениям

соответственно. Мы узнаем выражения под квадратным корнем в формуле для решения квадратного уравнения и с точностью до постоянного множителя в формуле Кардано.

2. Другой пример появился в упоминавшейся выше работе Лагранжа. Это так называемые резольвенты Лагранжа. Мы их рассмотрим, как и сам Лагранж, для случая уравнения 3-й степени. При помощи кубических корней из 1

они определяются следующим образом:

Здесь корни исследуемого кубического уравнения. Обратим внимание на вторую и третью резольвенты. Как нетрудно видеть, при циклической перестановке корней они лишь умножаются на соответственно. Следовательно, выдерживают циклические перестановки и поэтому выражаются рационально через коэффициенты уравнения и через А. Соответствующие представления можно подсчитать. Извлечением кубического корня можно получить . По теореме Виета - это коэффициент при с обратным знаком, т. е. в случае редуцированного кубического уравнения . Зная из системы линейных уравнений (7), можно получить Если осуществить указанные вычисления, то можно убедиться, что вычисляются по формулам Кардано.

Аналогично, только технически более сложно, можно получить решение в радикалах уравнения 4-й степени. Что же касается уравнения 5-й степени, то аналогичное сведение к уравнениям низших степеней получить не удалось. Однако Лагранж не исключал его возможности.

Что такое понижение принципиально неосуществимо, показал в 1799 г. в работе «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени» итальянский математик П. Руффини (1765-1822). Однако в его доказательстве содержались пробелы, которые, ему не удалось устранить. Аккуратное доказательство было дано лишь в 1826 г. в работе норвежского математика Н. Г. Абеля (1802-1829) «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую».

Глубокую причину несуществования функций от корней, удовлетворяющих уравнениям более низкой степени, чем рассматриваемое (исключение составляет всегда знакопеременная функция, удовлетворяющая квадратному уравнению) вскрыл гениальный французский математик Эварист Галуа (1811-1832). Галуа сопоставил каждому уравнению группу тех перестановок его корней, которые не меняют значения всех полиномов от корней с коэффициентами, зависящими рационально от коэффициентов заданного уравнения. Эту группу называют теперь группой Галуа рассматриваемого уравнения.

Понятие группы Галуа уравнения можно ввести следующим образом. Пусть - алгебраическое уравнение некоторой степени (левая часть этого уравнения) - полином степени .

Коэффициенты полинома - числа должны принадлежать одновременно какому-либо числовому полю - непустому множеству чисел, замкнутому относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от 0. Числовым полем является, например, множество Q всех рациональных чисел. Поскольку необходимые понятия вводятся для всех числовых полей единообразно, достаточно рассмотреть лишь одно из них. Поэтому мы будем считать, что коэффициенты многочлена - рациональные числа. Кроме того, можно предполагать (это доказывается в курсах алгебры), что Все корни многочлена - различны, т. е. уравнение имеет различных, вообще говоря, комплексных корней

Рациональным отношением между корнями называется всякое равенство вида

где - знак суммирования, сумма, стоящая в левой части этого равенства, берется по каким-то наборам показателей , а все коэффициенты - рациональные числа. Иными словами, в левой части рационального отношения (8) стоит некоторый многочлен от с рациональными коэффициентами. Множество всех рациональных отношений между корнями уравнения зависит только от многочлена . Понятно, что почленная сумма и почленное произведение рациональных отношений между корнями некоторого многочлена тоже будут рациональными отношениями между его корнями. Поскольку пример ненулевого рационального отношения легко указать для любого уравнения , отсюда получаем, что произвольному уравнению соответствует бесконечное множество рациональных отношений между его корнями.

Пусть теперь

Некоторая перестановка на множестве корней уравнения . Подействуем этой перестановкой на левую часть выражения (8). Каждый одночлен под действием перестановки преобразуется в одночлен (коэффициенты при всех одночленах остаются неизменными).

Левая часть соотношения (8) преобразуется в следующее выражение:

Это число может оказаться отличным от нуля. Все перестановки из симметрической группы на множестве корней уравнения можно разделить на две части - те, что сохраняют рациональное отношение (8), и те, что нарушают его. Если перестановки сохраняют рациональное отношение (8), то очевидно, что их произведение и обратная перестановка к каждой из них также будут преобразовывать это равенство в верхнее соотношение. такого же вида. Иными словами, множество всевозможных перестановок, сохраняющих соотношение (8) (поскольку оно не пустое!), образует группу. Эта группа и называется группой Галуа уравнения

По свойствам этой группы Галуа можно определить, будет ли данное уравнение разрешимо в радикалах или нет. Полученный признак содержит в виде частых случаев все ранее известные сведения о разрешимости или неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

Но не исключается, что некоторые уравнения с числовыми коэффициентами разрешимы в радикалах. Возможно это или нет, устанавливается опять-таки на основании признака, найденного Галуа.

Исследование свойств групп Галуа выходит за рамки нашего изложения. Отметим только, что если группа Галуа данного уравнения является абелевой, то уравнение разрешимо в радикалах. Разрешимыми в радикалах будут уравнения, группа Галуа которых является одной из групп диэдра, группой симметрий тетраэдра и куба. Это примеры так называемых разрешимых групп, т. е. групп Галуа уравнений, разрешимых в радикалах. Наиболее «маленьким» примером неразрешимой группы является знакопеременная группа состоящая из 60 перестановок; неразрешимой является также и содержащая ее группа Можно сказать, что в неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах «виновны» именно эти группы: среди уравнений 5-й степени имеются такие, группа Галуа которых совпадает с или Примером такого уравнения является

Поскольку группа Галуа уравнения является столь важной его характеристикой, возникает вопрос, как же строить эту группу по уравнению? Оказывается, что нет необходимости проверять, выдерживают ли все рациональные отношения от корней уравнения данную перестановку его корней. Достаточно ограничиться такой проверкой для конечной и вполне обозримой части этих отношений. С доказательством последнего и других упомянутых здесь утверждений можно познакомиться по одной из книг, посвященных изложению теории Галуа и указанных в списке литературы.

Упражнения

1. Используя дискриминант D кубического уравнения, невозможно установить, все корни этого уравнения совпадают, - или же совпадают лишь два из них. Приведите пример выражения; составленного из корней данного уравнения, которое позволяло бы это делать.

5. Привести примеры числовых полей, отличных от поля рациональных чисел Q. Проверить, что всевозможные числа вида

образуют числовое поле.

6. Доказать, что если квадратный корень из дискриминанта многочлена является рациональным числом, то группа Галуа этого многочлена целиком состоит из четных перестановок.

Алгебраические уравнения. Определение

Пусть функции f(x) и ц(x) определены на некотором множестве A. И пусть необходимо найти множество X, на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения x, для которых выполняется равенство: f(x)= ц(x).

При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным x.

Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем .

Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-ой степени с действительными коэффициентами:

Например,

Множество A называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.

Множество X называется множеством решений, а всякое его решение x=a - корнем данного уравнения. Решить уравнение - значит найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Методы решения алгебраических уравнений

Во многих научных и инженерных задачах требуется решить уравнение вида

где f (x) - заданная непрерывная нелинейная функция.

Аналитически удается найти решение только для простейших уравнений. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида (1) численными методами.

Численное решение уравнения (1) обычно проводится в два этапа. На первом этапе нужно найти такие интервалы изменения переменной x, где расположен только один корень. Эта задача обычно решается графически. На втором этапе проводится уточнение отдельных корней. Для этого используются различные методы.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде формулы. Однако встречающиеся на практике уравнения не всегда удаётся решить простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.

Прямые методы - решение находится за ранее известное число арифметических действий, решение строгое. Примеры: метод Гаусса, метод квадратного корня, правило Крамера и т. д.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений, в которых нельзя предсказать число арифметических действий, которое потребуется для решения уравнения (системы) с заданной точностью . Примеры: метод простых итераций, метод Гаусса-Зейделя, метод деления отрезка пополам и т.д.

В данной работе изучаются и сравниваются метод простых итераций и метод половинного деления отрезка.