Вычисление упругих постоянных

формулу, связывающую упругие постоянные.

Модуль упругости при сдвиге G(Па), Коэффициент Пуассона μ (мю) – безразм.величина, Модуль Юнга Е(Па) G= Е/2(1+ μ)

80. Напишите формулу, вводящую понятие "полное напряжение". Поясните смысл входящих в нее

величин.

Где 𝛥F– равнодействующая сила [Н], 𝛥А – площадь [м 2 ], σ п – полное напряжение [Па]

81. Поясните смысл индекса полного напряжения. Почему указание индекса является обязательным?

Первый индекс у напряжения говорит о том, что он действует на площадки с нормалью, // оси x,а второй –

что вектор напряжения // оси y. У нормального оба совпадают, поэтому ставится 1 индекс. 1 индекс - адрес

82. Какие напряжения называют нормальными, какие касательными? Как связаны между собой полное, нормальное и касательное напряжения?

Нормальное - составляющая полн напряжения, кот напр по нормали к рассматр площадке.

Касательное - составляющая полн напряжения, лежащую в плоскости площадки, и касат к ней

83. Что означает понятие "напряженное состояние в точке тела" и как оно количественно оценивается?

Напряженным состоянием в точке называют совокупность норм. и касат напряжений, возникающ на трех

взаимно ортогон площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела. Количественно оценивается тензором напряжения.

84. Что такое тензор напряжений?

Тензор напряжений - это 9 скалярных величин объединенных в трехмерный тензор напряженности второго

Это независящ от системы коорд математич объект, компоненты кот при переходе от одной коорд

системы к другой подвергаются определ линейному преобразованию

85. Запишите тензор напряжений и дайте полное название одной из его компонент, расположенной на

главной диагонали.

σ х- нормальное напряжение действует на площадке, ортогональной Ох.

86. Запишите выражение тензора напряжений и дайте полное название одной из его компонент,

расположенной вне главной диагонали.

Касательное напряжение, действующее на площадке, ортогональной Ох, направлена || Оу

87. Сформулируйте правило знаков для компонент тензора напряжений.

Для площадки с положит нормалью: положит направл совпадает с направл соотв оси

Для площадки с отриц нормалью: положит напряж направл в сторону, противоположн соотв оси

88. Сколько существенно различных компонент у тензора напряжений и почему?

Формально существует 9, на самом деле всего 6(по свойству парности)

σX, σY, σZ и τXY= τYX, τXZ = τXY, τYZ = τZY

89.Сформулируйте свойство парности касательных напряжений и запишите соответствующую формулу

Касат напряж, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой по величине и противоположны по знаку. τXY= τYX, τXZ = τZX, τYZ = τZY

90. На гранях элементарного параллелепипеда, параллельных плоскости xOy покажите положительные направления действующих на них напряжений.

91. Какие площадки называются главными?

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения

92. Как записывается условие существования главных площадок в случае объемного напряженного

состояния? К какому уравнению оно приводит?

Приводит к уравнению σ 3 -I 1 σ 2 +I 2 σ-I 3 =0

93. Чем являются коэффициенты и свободный член уравнения для определения главных напряжений?

σ 3 - I 1 σ2 + I 2 σ – I 3 =0 Коэффициенты и свободный член - инварианты тензора напряжений.

94. Какие величины называются инвариантными?

Те величины, которые не зависят от выбора системы координат.

95. Чему равен первый инвариант тензора напряжений?

I 1 =σX +σY+σ Z

96. Какие напряжения называются главными?

Это напряжения, действующие на главных площадках, в которых касательные напряжения равны 0

97. Как обозначаются главные напряжения и в каком порядке они нумеруются?

Индекс показывает, по какой площадке действует нормальное напряжение.

98. Запишите формулу, по которой вычисляются главные напряжения при плоском напряженном

состоянии?

99. Сколько главных площадок можно провести через точку деформируемого тела, как они

ориентированы по отношению друг к другу?

3 взаимно ортогональных

100.На каких площадках нормальные напряжения достигают экстремальных значений?

На главных.

101.В чем состоит свойство экстремальности главных напряжений?

Нормальное напряжение, возникающее на главных площадках, достигает экстремального значения.

102.Запишите тензор напряжений для случая, когда оси координат совпадают по направлению с

главными напряжениями?

103.Чему равно наибольшее касательное напряжение в точке тела и на какой площадке оно действует? На площадке, наклоненной пол углом 45 градусов к главной площадке.

104.Какие типы напряженных состояний в точке тела Вы знаете? По какому признаку они различаются

По кол-ву отличных от нуля главных напряжений.

А) линейные σ1 ≠0 ; σ2= σ3=0

Б) плоское σ1, σ 2≠0 ; σ3=0

В) объемное σ1, σ2, σ3, ≠0

105.Дайте определение понятиям "относительное удлинение", "относительный сдвиг".

Относительное удлинение – отношение абсолютного удлинения к начальной длине.

Относительный сдвиг – величина искажения первоначально прямого угла (γ)

106.Что означает понятие "деформированное состояние в точке тела" и как количественно оно

оценивается?

Совокупность линейных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений оси, проведенных через

данную точку.

Оценивается тензором деформаций

107.Запишите выражение тензора деформаций и дайте полное название одной из его компонент, расположенной на/вне главной диагонали.

,- Относительные линейные деформации вдоль осей x , y, z.

γ xy –угловая деформация в плоскости xy ,(относительный сдвиг)

109.Какие оси называются главными осями деформаций?

Три взаимно ортогональные направления, относительные сдвиги между которыми равны 0.

110.Запишите тензор деформаций для случая, когда оси координат совпадают по направлению с

главными осями деформаций?

111.Запишите закон Гука для случая линейного напряженного состояния.

σ =Eε, E-модуль Юнга(Па), ε-относительное удлинение, σ-нормальное напряжение (Па)

112.Запишите закон Гука при чистом сдвиге.

τ=γ*G , τ-касательное напряжение (Па), γ - относительный сдвиг, G-модуль упругости при сдвиге (Па)

113.Запишите обобщенный закон Гука.

, -Относительные линейные деформации вдоль осей x , y, z.

Коэффициент Пуассона

E-модуль Юнга (Па)

G-модуль упругости при сдвиге (Па)

114.Запишите закон Гука для случая, когда оси координат совпадают по направлению с главными

осями деформаций.

115.Зачем нужны гипотезы (теории) прочности?

Чтобы оценить прочность в условиях плоского и объемного напряженного состояния, сравнивая с допускаемым, полученным из опыта при линейном напр. состоянии

116.Что такое эквивалентное (расчетное) напряжение?

Напряжение, которое следует создать в расчетном образце чтобы его объемное напряженное состояние стало

равноопасным заданному.

117.Какое состояние считается опасным в соответствие I гипотезы прочности?

Когда максимальное нормальное напряжение достигает некоторых критических значений.

118.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по I гипотезе прочности в случае

объемного напряженного состояния.

119.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по I теории прочности при плоском

поперечном изгибе.

120.Какое состояние считается опасным в соответствие II гипотезы прочности?

Когда максимальное относительное положительное удлинение достигает некоторого критического значения

121.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по II гипотезе прочности в случае объемного напряженного состояния.

122.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по II теории прочности при плоском поперечном изгибе.

123.Какое состояние считается опасным в соответствие III гипотезы прочности?

Опасное состояние наступает, когда касательное напряжение достигает некоторого критического значения.

124.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по III теории прочности при плоском поперечном изгибе.

125.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по III гипотезе прочности в случае объемного напряженного состояния?

126.Какое состояние считается опасным в соответствие IV гипотезы прочности?

Опасное состояние возникает, когда удельная потенциальная энергия, изменения формы, достигает критического значения.

127.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по IV гипотезе прочности в случае объемного напряженного состояния?

128.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по VI теории прочности при плоском поперечном изгибе.

129.Какой вид деформации стержня называется кручением?

Кручение - один из видов простой деформации тела, возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости.

130.Запишите предположения, которые лежат в основе теории кручения круглых валов.

1. Сечения, плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации, остаются такими и после деформации

2.Радиусы в сечении остаются прямыми, углы между ними не изменяются, то есть сечения поворачиваются как круглое целое

3.Продольные деформации отсутствуют 4.Материал вала подчиняется закону Гука

131.Сформулируйте правило знаков для крутящего момента.

Крутящий момент в сечении положительный, если он создается против часовой стрелки, и отрицательный, если создается по часовой, если смотреть со стороны отсеченной части

132.Как связаны крутящий момент и интенсивность распределенного крутящего момента.

133.По каким признакам проверяется правильность построения эпюры крутящего момента?

1)Эпюра Мкр всегда прямолинейная

2) На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Мкр - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

3) Под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

134.Что такое депланация поперечного сечения вала?

Депланация – явление выхода сечения из плоскости.

135.Какие напряжения возникают в поперечном сечении вала при кручении? По какой формуле они вычисляются?

Касательные. Wp – полярный момент сопротивления [м 3 ]

Mz – крутящий момент [Н м]

Ip – полярный момент инерции[м^4]

Ρ max

136.Как направлено полное касательное напряжение при кручении круглых валов и откуда это следует?

Если бы была составляющая вдоль радиуса, то по свойству парности τ на боковой части появился бы τ, вызванная деформацией сечения, что противоречит предположению о том, что сечение – абсолютно твердый круг.

137.Запишите условие статической эквивалентности для крутящего момента.

138.В каких точках поперечного сечения круглого вала возникают наибольшие касательные напряжения и как их вычисляют?

На границе Wp 3 ]

M кр –крутящий момент [Н м]

Τ – допустимое касательное напряжение[Па]

139.Как вводят понятие момент сопротивления при кручении (полярный момент сопротивления)?

Ip – полярный момент инерции [м 4 ]

Ρmax – расстояние от центра тяжести до рассматриваемого волокна [м]

140.Запишите условие прочности при кручении для круглого вала. Какие задачи оно позволяет решать?

Wp – полярный момент сопротивления [м 3 ]

M кр –максимальный крутящий момент [Н м]

Τмах –максимальное касательное напряжение [Па]

Τ – допустимое касательное напряжение

1.подбор поперечного сечения

2. проверка прочности

141.Запишите формулу, по которой вычисляют угол закручивания круглого вала при постоянном по длине крутящем моменте.

ϕ =(Mx*l)/(G*Jp) ,где: Jr - геометрический полярный момент инерции [м 4 ] ; l - длина стержня [м] ; G - модуль сдвига. [Па]

142.Что называют жесткостью поперечного сечения при кручении и какова ее размерность?

За меру жесткости при кручении принимается произведение GIp (Н м 2 ), где G - модуль сдвига. [Па], : Jр-полярный момент инерции [м 4 ]

143.Сформулируйте условие жесткости при кручении круглого вала.Какие задачи оно позволяет решать?

Для обеспечения требуемой жесткости необходимо чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемогo.

Φ-относительный угол закручивания[рад/м]

Мкр – максимальный крутящий момент [Н]

G Ip - жесткость при кручении [Нм 2 ]

Ф max – максимальный угол закручивания[рад/м]

1.подбор поперечного сечения

2. проверка на жесткость

ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

Величины, характеризующие упругие св-ва изотропного материала (см. МОДУЛИ УПРУГОСТИ , ГУКА ЗАКОН). Названы по имени франц. математика Г. Ламе (G. Lame).

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Для однородного изотропного тела напряжения , , . . ., , . . . в нек-рой точке его выражаются через компоненты деформации , , . . ., , . . . в той же точке шестью соотношениями вида

где коэф. и наз. Л. п. (по имени Г. Ламе, G. Lame). Они зависят как от материала, так и от его темп-ры и удобны для общих исследований в теории упругости, когда напряжения выражены через деформации. Л. п. связаны с модулями упругости ф-лами

Здесь Е - модуль продольной упругости, К - модуль объёмного сжатия, G - модуль сдвига, - коэф. Пуассона. По полученным эксперим. путём значениям модулей упругости с помощью приведённых зависимостей вычисляются величины Л. п.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ" в других словарях:

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Ламе постоянные λ и µ связаны с модулями упругости соотношениями: µ = G = E/, λ = Eν/[(1 + ν)·(1 – 2ν)] = K – 2G/3, где Е модуль продольной упругости, K модуль… … Энциклопедический словарь

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Постоянные Ламе? и? связаны с модулями упругости соотношениями:??=?=EЛАМЕННЕ (Lamennais) Фелисите Робер де (1782 1854) французский публицист и религиозный философ, аббат, один из …

Величины, связывающие компоненты упругого напряжения в какой либо точке твердого изотропного деформируемого тела с компонентами деформации в этой же точке: где s и t нормальная и касательная составляющие напряжения, e компоненты деформации, а… … Математическая энциклопедия

Величины, связывающие компоненты упругого напряжения в какой либо точке твёрдого изотропного деформируемого тела с компонентами деформации в этой же точке: σx = 2μεxx + λ(εxx + εyy + εzz), τxy = μεxy, где σ и τ… …

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Л. п. А. и ц. связаны с модулями упругости соотношениями: м = G = Е/, Л = = Еv/[(1+v) х (l 2v)]=.K 2G/3, где Е модуль продольной упругости, К модуль объёмного сжатия, G… …

Ламе (Lamé) Габриель (22.7.1795, Тур, ≈ 1.5.1870, Париж), французский математик и инженер, член Парижской АН (1843). Профессор Политехнической школы (1832≈1863) и Парижского университета (1848≈63). В 1820≈32 работал в России (в институте… … Большая советская энциклопедия

- (Lamé) Габриель (22.7.1795, Тур, 1.5.1870, Париж), французский математик и инженер, член Парижской АН (1843). Профессор Политехнической школы (1832 1863) и Парижского университета (1848 63). В 1820 32 работал в России (в институте… … Большая советская энциклопедия

- (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства твёрдых тел (см. Упругость). Модули упругости коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта… … Энциклопедический словарь

- (упругие постоянные) величины, характеризующие упругие свойства твердых тел (см. Упругость). Модули упругости коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта… … Большой Энциклопедический словарь

- (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства тв. тел (см. Упругость). М. у. коэф. в зависимости деформации от приложенных механич. напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта зависимость линейная, а М. у … Естествознание. Энциклопедический словарь

ЛАБОРАТОРИЯ ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛОВ

ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА

И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N1

ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА

1. Цель работы 3

2. Общие сведения 3

2.1 Закон Гука. Упругие постоянные материала 3

2.2 Измерение деформаций в стержне 4

3. Характеристика лабораторной установки 7

4. Методика эксперимента 8

5. Требования к отчету 9

6. Контрольные вопросы 9

Литература 9

Приложение 10

ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА

И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

В данной лабораторной работе производится исследование образцов на растяжение с измерением деформаций и определением постоянных, характеризующих упругие свойства образца - модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона n. При измерении деформаций используют проволочные датчики сопротивления.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Закон Гука. Упругие постоянные материала.

Механизм упругого деформирования материалов состоит в обратимых смещениях атомов из положений равновесия в кристаллической решетке. Чем больше величина смещения каждого атома, тем больше упругая деформация тела. Величина упругой деформации невелика и для металлов и для их сплавов меньше 1%, т.к. в этом случае атомы в кристаллической решетке способны упруго смещаться лишь на небольшую долю межатомного расстояния.

Поведение материалов при упругой деформации описывается законом Гука, который определяет прямую пропорциональную зависимость между между компонентами тензоров деформации и напряжения. В случае трехосного напряженного состояния закон Гука имеет следующий вид :

В эти шесть соотношений входят два параметра E и n, характеризующие упругие свойства материала. Для экспериментального определения этих величин достаточно реализовать в образце одноосное напряженное состояние.

Рассмотрим стержень длины l 0 с площадью сечения S 0 , растягиваемый силой Р . Пусть ось Ох системы координат совпадает с осью стержня. Стержень будет находиться в состоянии одноосного растяжения, то есть напряжения в нем равны

Подставив (2) в (1), получим, что при данном поле напряжений относительные удлинения по всем осям будут отличны от нуля, а сдвиги будут равны нулю:

Таким образом, модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона n можно определить из опыта по растяжению стержня по следующим формулам:

Из формул (4) ясен физический смысл постоянных Е и n. Модуль Юнга Е равняется отношению напряжения в стержне к относительному удлинению, то есть характеризует жесткость материала, из которого сделан стержень. Коэффициент пуассона равен отношению поперечной деформации к продольной, то есть характеризует поперечное сужение стержня при его растяжении.

Модуль Юнга имеет размерность напряжения, то есть кГ/м 2 (в системе единиц МКГСС) или Па (в системе единиц СИ). На практике удобнее пользоваться кратными единицами: кГ/см 2 , кГ/мм 2 (МКГСС) или МПа, ГПа (СИ). Эти единицы связаны между собой так:

1 кГ/см 2 = 10 -2 кГ/мм 2 = 10 -1 МПа = 10 -4 ГПа.

Коэффициент Пуассона является безразмерной величиной.

Относительное удлинение стержня, входящее в формулу (4) можно вычислить по абсолютному удлинению стержня Dl :

или прямым измерением. В данной работе проводится прямое измерение величин e xx и e yy при помощи тензодатчиков.

Отметим, что для определения упругих постоянных материала используются и другие одноосные напряженные состояния. Например, при кручении круглого стержня в последнем реализуется чистый сдвиг, что позволяет легко определить модуль сдвига

Для определения модуля Юнга, помимо установок для растяжения стержней, используются установки для изгиба балок.

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя иэ некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными C ¡jkl .

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях yz и zx .

Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k 1 . Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k 2 . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором е ¡j . В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: е хх,е xy и е yy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11. Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u x , u y , выписанные в табл. 39.1

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k 2 /2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка (1-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений.

Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент и х и u y в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами и х и u у. можно получить выражение для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U 0 , получаем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/а 3 атомов, то w и U o связаны соотношением

Чтобы найти упругие постоянные С ¡jkl , нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е ¡j е kl с соответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е 2 xx и е 2 y у, мы находим, что множитель при нем равен

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения e xx e yy от е yy е xx , то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при e xx e yy в уравнении (39.45) равен 2k 2 , так что получаем

Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что С xxyy - С у ухx , поэтому

Таким же способом можно получить

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k 1 и k 2 . В нашем частном случае С xyxy =С xxyy . Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что С xxyy , вообще говоря, не равно С xyxy . Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные С xxyy и С xyxy у них почти равны. Только хлористое серебро почему-то недочет подчиняться условию С ххуу — С хуху.

Код для блога:

МОДУЛИ УПРУГОСТИ (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства твердых тел (см. Упругость). Модули упругости - коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта зависимость линейная, а модуль упругости - коэффициент пропорциональности (см. Гука закон).

Число модулей упругости для анизотропных кристаллов достигает 21 и зависит от симметрии кристалла. Упругие свойства изотропного вещества можно описать 2 постоянными (см. Ламе постоянные), связанными с модулем Юнга Е = ?/? (? - растягивающее напряжение, ? - относительное удлинение), коэффициент Пуассона? = ??y?/?х (?y - относительное поперечное сжатие, ?х - относительное продольное удлинение), модулем сдвига G = ?/? (? - угол сдвига, ? - касательное напряжение) и с модулем объемного сжатия К = ?/? (? - уменьшение объема).

Модули упругости данного материала зависят от его химического состава, предварительной обработки, температуры и др.

Как это будет выглядеть:

МОДУЛИ УПРУГОСТИ (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства твердых тел (см. Упругость). Модули упругости - коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта зависимость линейная, а модуль упругости - коэффициент пропорциональности (см. Гука закон).

Число модулей упругости для анизотропных кристаллов достигает 21 и зависит от симметрии кристалла. Упругие свойства изотропного вещества можно описать 2 постоянными (см. Ламе постоянные), связанными с модулем Юнга Е = ?/? (? - растягивающее напряжение, ? - относительное удлинение), коэффициент Пуассона? = ??y?/?х (?y - относительное поперечное сжатие, ?х - относительное продольное удлинение), модулем сдвига G = ?/? (? - угол сдвига, ? - касательное напряжение) и с модулем объемного сжатия К = ?/? (? - уменьшение объема).

Модули упругости данного материала зависят от его химического состава, предварительной обработки, температуры и др.